Maxell方程与纤维丛
新春将近，笔者和很多师长们、同学们互致问候，回忆共同度过的美好时光。数十年前，我们刚刚入学就用莫斯科大学数学系的教材，开篇就讲微分形式、de Rham上同调和层论。当时我们还没有系统地学习过经典的场论，不会计算曲面的面元，因此很多同学非常抗拒，认为计算机领域不必学习抽象的现代数学，甚至愤而转至更加工程的方向。当时班主任黄连生老师苦口婆心地劝大家要目光长远，展望未来。多年以前，笔者在耶鲁大学和一位学长谈起，这位学长说他一辈子学过最为高深的理论就是微分形式。后来这位学长在硅谷业界发展，数十年来计算机工业日新月异，不知道这位学长是否真正用到了微分形式。但是笔者在日常学术研究中，几乎天天要用到微分形式。
最近参加朋友的学术研讨会时，笔者看到朋友的团队在设计电磁设备，需要精确求解Maxwell方程。里面用到了电磁场和电磁势，这其实涉及到了理解Maxwell方程的古典观点和现代观点。在大学的工科专业方向，Maxwell方程是重点内容，但是不包括现代理论。在工业界中，电磁场设计极其普遍，但是几乎不太涉及现代理论。但是依随摩尔定律的终结，拓扑绝缘体的兴起，现代纤维丛理论必将日渐成为工科学生的必备知识。
经典电动力学认为电磁现象的本质描述是电磁场强度，磁矢量势不是物理实在，只是为了数学的方便而引入；而在量子力学中，磁矢势更加本质，比磁场强度具有更加重要的地位。这涉及到了纤维丛的联络概念。在下面的讨论中，我们采用更为简洁的微分形式的语言。
活动标架法
我们考察一个简单的纤维丛例子，以此解释相关的概念。假设是嵌入在三维欧氏空间中的光滑曲面，的所有单位切向量构成一个维流形被称为曲面的单位切丛。我们取曲面上的一个开集，其局部参数为。令为曲面上的点，其位置向量记为，其全微分记为
这里偏导数, 都是中的向量。我们取曲面的单位正交标架场，
这里是曲面的法向量场，
这样我们可以将和在活动标架中表示,
这里微分形式
同样的
这里微分形式满足一个非常关键的关系：
是曲面的Gauss曲率，即联络的外微分等于曲率形式。同时微分形式也定义了联络，而联络定义了协变微分算子，从而定义了平行移动。
假设是曲面上的一条曲线，其弧长参数为，是沿着的切向量场，我们说沿着平行，如果
假设，那么
进一步展开得到
我们得到关于的常微分方程：
给定初始条件，解存在并且唯一，即我们定义了切矢量沿着的平行移动。我们可以证明平行移动保度量，即任给沿着的切矢量场和，
若和都沿着平行，则沿着它们的内积保持不变。这时，我们说是黎曼度量的Leve-Civita联络。一条曲线被称为是测地线，如果它的速度向量场沿着是自平行的，
假设是曲面上的单连通区域,其边界为。一个切向量沿着边界平行移动，跑了一圈回到原点之后此切向量会旋转一个角度，这个转角等于
即围绕边界平行移动一圈之后得到的转角（即和乐holonomy）等于的总Gauss曲率。
示性类
纤维丛局部看具有直积结构，整体具有内在的扭曲。我们希望在纤维丛中找到一张曲面，它和每根纤维只相交于一点，即一个整体的截面。但是由于内在的扭曲，这种截面未见得存在，这种截面整体存在性的障碍就是示性类。
我们考虑曲面所有的单位切向量构成的流形, 曲面的单位切丛。
固定点， 所有的单位切向量构成一个圆圈，被称为是点的纤维。开集上所有的单位切向量构成了一个直积。但是整个曲面的单位切丛未见得是整体直积结构。我们分析一下球面的单位切丛。
图 1. 半球面的单位切丛具有直积结构。
如图1所示，我们将球面沿着赤道分成上半球面和下半球面，每个半球面的单位切丛都具有直积结构，可以视为实心轮胎，每一点的纤维对应环绕实心轮胎的纬线。我们一刀砍向实心轮胎，砍断所有纤维，得到一个截面，这个截面对应着半球面上的一个光滑单位切矢量场。
图2. 球面的单位切丛。
通过粘贴两个半球面的单位切丛，我们可以得到球面的单位切丛。如图2所示，半球面单位切丛的边界是空心轮胎面，粘贴映射记为。仔细考察，我们看到粘贴映射将纤维映成纤维，即纬线（红色）映成纬线（红线）,但是经线(蓝色)映成复杂的圈,
粘贴之后得到的球面单位切丛是一个封闭的维流形。我们希望在单位切丛中找到一个曲面，曲面和每根纤维都相交与一点。如果我们向左侧的半球面单位切丛一刀砍去，斩断所有纤维，截面边界切痕为，截面为一个圆盘；切痕映到右侧的，我们看到右侧半球面单位切丛内部不存在一个曲面以为边界。这意味着 的单位切丛不存在全局截面。纤维丛全局截面存在性的拓扑障碍由其示性类来表示。曲率形式可以被视为球面de Rham上同调群的一个上同调类，被称为示性类。积分
为纤维丛的示性数。这定量地描绘了纤维丛整体的“扭曲”程度。
在图2中，如果我们改变粘贴映射，只要满足特定条件，会得到不同的纤维丛。不同纤维丛的内在“扭曲”也不同，可以用示性类来区分。一般情形下，求取示性类的直观方法是逐步构造全局截面，中途遇到的障碍直接给出了示性类。比如给定一张曲面上的圆丛，我们先计算曲面的三角剖分。然后在每个顶点的纤维上任取一点，得到顶点处的截面；圆丛限制在每条边上是一个圆柱面，其边界上确定了两点，我们在柱面上选取一条路径连接边界上的两点，这条路径是限制在边上的截面；圆丛限制在每个三角形面上是一个实心轮胎，其边界是空心轮胎曲面，曲面上已经确定了一条封闭曲线作为截面，如果这条封闭曲线在实心轮胎的一维同调群中为零，则实心轮胎内部存在一张曲面以此曲线为边界，这张曲面就是此三角形面对应的截面；反之，如果这条封闭曲线在实心轮胎的一维同调群中非零而是一个整数，则实心轮胎中不存在任何曲面以此曲线为边界，我们遇到了拓扑障碍。由此，我们为每个三角形面赋予一个整数，即得到一个2-形式，将其视为曲面2维上同调群中的一个类，这就是纤维丛的示性类。
我们也可以用几何上的曲率形式来定义示性类。我们在每根纤维上定义一个内积，从而得到整体光滑的黎曼度量，与活动标架法类似得到唯一的Levi-civita联络，其外微分为曲率形式，曲率形式即为纤维丛的示性类。这种方法将拓扑问题用几何来解决。
Maxwell方程和A-B效应
经典的Maxwell方程组比较直接了当地描述电场强度和磁感应强度，核心是说它们的散度和旋量，
这里是电荷密度，电流密度，电常数，磁常数。第一个方程是Gauss定律，第二个方程是Gauss磁定律，第三个方程是法拉第电磁感应定律，第四个方程是Maxell-Ampere定律。在自由空间中，和为零，我们得到电场与磁场的波动方程：
这意味着电场和磁场是平面行进正弦横波，电场和磁场彼此垂直，垂直于行进方向。同时
为光速，并且光速与观察者坐标系无关，因此Maxwell方程组本质上指向了相对论。
引入电势和磁矢量势，Gauss电场和磁场定律改写成：
在经典电动力学层次，磁矢量势无法测量，因此人们一直以为它是为了数学的方便而非物理实在。但在量子力学层次，它却比磁场强度具有更重要的地位。Aharonov和Bohm于1959年提出A-B效应很好地阐述了这一点。
图3. Aharonov-Bohm 效应（Internet）。
如图3所示，一束电子通过双缝，在背后的屏幕上形成干涉条纹。我们在双缝后面放置一个无限长的螺线管，管内磁场强度为，外部磁场、电场强度为零。螺线管通电之后，干涉条纹在屏幕上发生了移动。根据物理的局域原则，电子行为的改变一定是它和某种场相接触，但是电子的路径上电场强度和磁场强度均为零，电子不受洛伦兹力的作用。历经数十年的争论，人们终于认识到干涉条纹的移动是由磁矢量势所引起。通电的螺线管改变了时空的整体性质，改变了曲率的分布，从而改变了电子的相位，干涉条纹移动。
假设一带电粒子在而的区域内运动，哈密顿量
含时Schrodinger方程
可设波函数 ，相位
代入含时Schrodinger方程，可得的方程，
我们看到波函数的相因子体现了磁矢势的物理效应。假设螺线管内部均匀磁场强度为，半径为，螺线管外足够远处磁场强度为零，磁矢势非零。电子从左侧狭缝出发，到达屏幕某点，再返回右侧狭缝，假设两个狭缝足够接近，电子路径为封闭的圈，那么相位的变化为
这里磁通量。这个相位差导致可观测的物理效应（干涉条纹移动），即A-B效应。
纤维丛观点
我们将时空视作四维洛伦兹流形，洛伦兹度量为
在静磁场情形，，这时磁场强度无散，电场强度无旋，
令电场强度表示为微分1-形式
磁场强度为
由此我们得到外微分方程
电场和磁场强度表示成法拉第张量
由此我们得到磁场无散、电场无旋的微分方程可以写成 . 更进一步，电磁势是1-形式是电势和磁矢势的结合
我们将电流密度和电荷密度结合成1-形式
这时，Maxwell方程组具有更加简洁的形式：
这里。
这里四维洛伦兹流形被视为是纤维丛的底空间，每一点处的纤维是复平面，电磁势是联络，法拉第张量是曲率形式，。电子沿着封闭路径平行移动一圈，相位的变化为和乐（holonomy），等于以为边界曲面的总曲率，即磁通量。在螺线管没有通电的情形，时空曲率处处为零。通电后，螺线管内部曲率非零，平行移动后电子相位发生变化。我们用平面进行类比，开始我们有一个平面单位圆盘，沿着单位圆周平行移动一个向量，绕回初始位置后向量转角为零；如果我们将平面圆盘替换成圆锥面，圆锥顶点处曲率非零，其他各处曲率为零。这时，我们沿着圆锥底面的边界平行移动一个切向量，绕回初始位置后切向量转角非零（和乐非零), 这个圆锥面上的顶点为曲率奇点，就是A-B效应中的螺线管。
这里联络是微分1-形式，如果我们有一个函数，那么我们将替换成，即所谓的规范变换，电磁场没有变化。这种性质被称为是规范对称。在物理有有个规范原则：任何物理自然物理定律在规范变换下不变。由此我们看到，从纤维丛的观点来解释Maxwell方程组，电势和磁矢势成为联络，电场磁场成为曲率形式，磁通量成为总曲率，电子相位的偏转成为和乐。这些观点和数学工具简化了思维，揭示了更为深刻的物理，同时推动了理论的发展来进一步理解自然结构。
回顾
Maxwell时代没有电气工业，他的理论超越于他所处的时代，因此在他的生命中他的贡献一直没有得到社会承认。今天，由于电气工业、通讯工业成为现代社会的基础，经典Maxwell方程组的电磁场、电磁波的理论成为大学工程科系的必修内容，但是现代磁矢势的理论依然被工科课程排斥在外。如果未来，拓扑绝缘体大规模进入工业，真正能够突破摩尔定律，那么纤维丛理论必将成为工科的核心课程内容。
最近元宇宙的浪潮高涨，这需要大量的数字几何算法，其背后的基础需要用到艰深的拓扑几何理论，其中也包括纤维丛示性类的理论。我们认识到这一点也是经历了非常漫长而曲折的过程，目前依然在继续探索中。
现在回想当年，笔者已经完全理解了老师们的良苦用心：开始学习的时候尽量用现代观点，虽然比古典观点抽象并且困难，但是从长期来看还是非常有益，这可以帮助年轻人迅速进入现代理论殿堂，建立相对完备的知识体系，在大学毕业后能够毫无障碍地自学各个科目的理论，从而能够自由进入新兴领域，终生跟上时代的步伐！
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